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【大昇電子報第14期】大考趨勢風向站／112年會考數學試題分析
112年會考數學試題分析
專欄作者：李果老師
 
5月21日剛落幕的112年會考，在數學試題的數量與題型方面，和去年一樣，共27題，包括選擇題25題，與非選擇題2題；幾何與空間概念的題型佔比今年偏低，只佔總題數的1/3，其他考題均出自代數、機率，與統計圖表等章節；而生活情境的素養題型的數量則一如去年，一共9題，佔總題數1/3的比例。
題目若以難易度來區分，今年的數學試題，選擇題前10題是屬於送分題的基本程度題型，只要對題目所屬章節的基礎概念瞭解，就可以拿到分數，是同學一定要把握住的分數。選擇11~25題與兩題非選擇題，則是程度鑑別的關鍵：題目並沒有複雜的計算，而是需要同學對出題章節能融會貫通，並判讀題目中的重要資訊，才能獲得高分。
這裡選了具有鑑別度的選擇題第11與23題來分析：
選擇第11題，題目如下：
業者販售含咖啡因飲料時通常會以紅、黃、綠三色來標示每杯飲料的咖啡因含量，各顏色的意義如表(一)所示。
 
 
我國建議每位成人一日的咖啡因攝取量不超過300毫克，歐盟則建議一日不超過400毫克。表(二)為某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量標示，已知該店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判斷一位成人一日喝2杯該店中杯的美式咖啡，其咖啡因攝取量是否符合我國或歐盟的建議？
 
 
這是一題不等式應用的生活情境考題，沒有複雜的計算，卻是需要對題目內的文字有足夠的敏感度。首先，是明白題目中的敘述：「超過」，為大於的意思；而「不超過」，則表示小於等於。本題具有程度鑑別之處，並非完全是數學方面的能力，而是在於能不能從題目中找出關鍵的「隱藏條件」，來判斷2杯中杯美式咖啡的咖啡因含量2X mg(假設)，是否符合我國建議咖啡因的攝取量。因為，若只依黃標定義的咖啡因含量來判讀，只能得到200<2X≤400的結論，無法判定2X是否超過300。我們來看一下如何解這道試題。
依題意，若假設中杯咖啡因含量為X mg，而咖啡因含量標示為黃標，故得知
100<X≤200。
每日二杯中杯美式咖啡，則咖啡因攝取量為2X mg，可得
200<2X≤400……(1)。
又大杯美式咖啡的咖啡因含量標示為紅標，假設其咖啡因含量為Y mg，可得知
200<Y……(2)
而每毫升美式咖啡的咖啡因含量相同，所以中杯美式咖啡的咖啡因含量X與大杯美式咖啡的咖啡因含量Y，應和其容量大小成相同比例，亦即
X:Y=360:480 ⟹ X=(360/480)Y=(3/4)Y……(3)
將(3)帶入(2)
X=(3/4)Y>(3/4)*200 ⟹ X>150……(4)
將(4)帶入(1)，可得
300<2X≤400
故得知，成人一日喝2杯該店中杯的美式咖啡，所攝取咖啡因含量將超過300mg，但是不超過400mg，故未符合我國建議每位成人一日的咖啡因攝取量，但仍在歐盟建議的範圍值之內。
 
 
我們接著看選擇題第23題，題目如下：
如圖(十四)，矩形ABCD中，線段AB=6，線段AD=8，且有一點P從B點沿著線段BD往D點移動。若過P點作線段AB的垂線交線段AB於E點，過P點作線段AD的垂線交線段AD於F點，則線段EF的長度最小為多少？
此題的鑑別度，在於如何找到P點位置，使得線段EF為最小值。出題老師為了增加難度，在題目中設計了障眼法，讓考生需要轉個彎，才能找到答案。也就是考生須知道矩形兩對角線長度相等，同時須明白與應用：直線線外一點P到該直線的最短距離，是P點到直線的垂直距離。在圖(十四)中，如果只看線段EF，很難找到線段EF為最小值的條件；若我們以四邊形(矩形)AEPF的另一對角線—線段AP來找，就清楚許多了。以下解答供同學參考：
因為四邊形ABCD為矩形，所以∠A=90°。P為線段BD上任一點，又E、F兩點分別在線段AB與線段AD上，且線段PE⊥線段AB，線段PF⊥線段AD，可得四邊形AEPF四個內角皆為90°，為一矩形。矩形2對角線等長，故可得
線段AP=線段EF……(1)
過A點作線段BD的垂直線，交線段BD於P’，則線段AP’為A點到線段BD的最短距離(因為∠AP’P=90°，P點不論是線段BD上P’點除外的任一點，線段AP都是直角△AP’P中直角的對邊，一定大於線段AP’。)
又直角△ABD中，線段AB=6，線段AD=8，根據畢式定理，線段BD=10。假設線段AP’長度為a，可藉由△ABD面積的計算等式：(線段AB×線段AD)/2=(線段BD×線段AP’)/2，將線段以數值帶入算出
8×6=10a ⟹ a=24/5……(2)
由(1)、(2)可得
線段E’F’=線段AP’=24/5
且線段E’F’為滿足線段EF條件的最小值。
 
總體來說，今年會考的數學命題，依舊延續著前幾屆會考的命題趨勢，將簡單易拿分數的基礎概念題，放在試卷的前10題，是考生務必要把握的送分題。基礎題之後的15題選擇題，與2題非選擇題，在代數題型方面，則需要對文字的敏銳度夠高，才能從題目龐雜的敘述中，找到所有的關鍵字句，並將解題的必要條件轉換為數學式。因此，除了對於數學理論的熟悉之外，還要對文字的閱讀與理解有一定程度的水準，尤其是生活情境題，如剛才介紹的選擇第11題，除了對不等式的熟悉之外，就還要有能力理解題目文字裡隱含的暗示。選擇第15題，則需了解在等差數列1、2、3、4、5之間插入一些數後，新數列仍為等差數列的條件，必須是在原數列的4個間距內各插入相同間距與數目的數，也就是新數列的項數，扣除原數列項數5，需為4的倍數，因此，答案中只有(D)33滿足。選擇第16題，亦是要從繁瑣的文字敘述中整理出雞排和可樂在單點、特價，與促銷中的條件，才能得分；在幾何題型部分的得分條件，則必須熟悉、活用，與整合三角形、圓形，與平行線等的特性，如前面分析的選擇第23題。
 
與去年會考的數學試題比較，今年題目算是相對簡單。但整體趨勢，已不再僅限於對數學理論的熟悉，而是要求考生能夠將數學與真實生活的應用連結。也就是說，想拿高分，需具備將數學應用於生活上的問題，翻譯成數學公式與解答的能力。最後，在會考前曾提到過，請同學留意尚未出現在會考試題中的108課綱數學新增單元—三視圖，已出現在這次數學會考選擇題的第3題。只要對立體空間稍有概念，即可拿到分數；而同為課綱新增單元的等比數列，則尚未被拿來命題。明年要參加會考的同學請記得留心。如果你今年升九年級，距離明年會考有350天左右，好好計畫，仍是大有可為的。加油！